Uendelighedsrækkens
"åbne hierarkier"


Af Jørgen Mortensen

Det mest forbløffende ved Per Nørgårds uendelighedsrække er, at man igen og igen finder den oprindelige række - i andre "målestoksforhold", dvs. strakt ud i tid, eller ud fra andre tonehøjder, i retvending og i omvending. Det enkelte element - den enkelte tone - er ikke bare entydigt et bestemt nummer i en bestemt række. Det indgår i uendeligt mange forskellige sammenhænge.

Man bruger betegnelsen "åbent hierarki" om disse egenskaber. Per Nørgård henviser her til Arthur Koestlers begreb, således som dette er fremstillet i Beyond Reductionism (London 1969).

Denne opfattelse af begrebet hierarki er altså noget anderledes end den udbredte forståelse af begrebet som en magtpyramide. Koestler opfattede den hierarkiske organisering som en betingelse for liv og var med til at bane vejen for et holistisk verdensbillede. I det åbne hierarki er de forskellige lag strukturelt sammenhængende, men intet lag er overordnet et andet. Der er ikke nogen endelig "top" eller endelig "bund".

At det også forholder sig således  i Per Nørgårds uendelighedsrække ses vel mest tydeligt i, at man både kan genfinde rækken ved at reducere antallet af toner - tage hver 4. eller 16. tone ud - eller ved at "fylde flere toner på".

To begreber fra fraktalgeometrien, synes fint at illustrere et åbent hierarki. Det er selvsimilaritet og skala-invarians . Det første begreb siger, at vi genfinder strukturen i strukturen. Det andet begreb siger, at strukturen genfindes i forskellige målestoksforhold.

Allerede dette, at der i rækken af og til kommer brudstykker af begyndelsen - kan ses som selvsimilaritet.
Rækken indeholder rækken,
indeholder ...
Ingen top,
ingen bund
To spejlende halvdele
Således som rækken er konstrueret ved projektion er det indlysende, at de to halvdele af den er spejlinger af hinanden. Vi har således rækken i omvending, hvis vi udtager tone 0, 2, 4, 6... . Hvis vi udtager tone 1, 3, 5, 7... får vi rækken i retvending, blot transponeret til et trin over originalen, igen altså selvsimilaritet.

Hvis hver fjerde tone tages ud , altså tone 0, 3, 7, 11 ... får vi rækken i dens originale skikkelse - og dette vil jo så også være tilfældet med hver 16. tone, hver 64. tone etc., se nodeeksemplet.:

 

Af nodeeksemplet fremgår det også, at for hver gang der optræder en ny tone, vil denne være udgangspunkt for en ny version af rækken - i transponering og i et andet tempolag. Vi så det allerede med den anden tone. Den tredie tone har værdien -1 (fis). Idet vi tæller fra 0, finder vi følgende værdier:

    pn[2] = - 1
    pn[6] = - 2
    pn[10] = 0
    pn[14] = - 3
    pn[18] = - 2

Hvis vi lægger 1 til alle disse værdier, får vi værdierne 0, -1, 1, -2, -1 ..... , hvilket er rækken i omvending.

Tilsvarende får vi følgende værdier fra den næste nye tone, a:

    pn[3] = 2
    pn[7] = 3
    pn[11] = 1
    pn[15] = 4
    pn[19] = 3

Hvis vi trækker 2 fra hver af disse værdier, får vi rækken i retvending.

For den næste nye tone, f, får vi:

    pn[6]   = - 2
    pn[14] = - 3
    pn[22] = - 1
    pn[30] = - 4
    pn[38] = - 3

Hvis vi lægger 2 til alle værdierne finder vi rækken i omvending.

Ud fra hver eneste ny tone - ja, faktisk hver eneste tone overhovedet - genskabes rækken i en ny "bølgelængde", retvendt eller omvendt!

Det er en forbløffende egenskab!